Ich nehme an, die Klassenlehrerin hat es mit der Mitleidschiene versuchen wollen, "Seid doch etwas netter zu Frau Snuggles, sie ist sehr sensibel und hat sogar schon mal geweint", eine Methode, die dein Ansehen als Respektperson nicht gerade stützt. Ich kann sehr gut verstehen, dass dich das besonders trifft, wenn damit gewissermaßen bei dir ein wunder Punkt angesprochen wird.
Ich würde jedoch auf jeden Fall zuerst mit der Kollegin reden, bevor du zu Personalrat und Schuleitung gehst. Du möchtest, dass sie das wieder aus der Welt schafft, also solltest du zuerst versuchen, es ihr direkt zu sagen und erst, wenn sie nichts macht, dir weiter Hilfe holen. Es muss ja auch gar nicht sein, dass sie das gesagt hat, du weißt doch, wie eine Gesprächsdynamik entsteht, vielleicht hat irgendein Schüler das von irgendeinem anderen Schüler gehört und in dem Zusammenhang in der Klasse erzählt und es hat gar nichts mit dem 6-Augen-Gespräch zu tun. Man darf nie unterschätzen, wie die Schüler untereinander bekannt sind und was von Klasse zu Klasse getratscht wird, auch wenn es aus der Luft gegriffen ist.
Vielleicht solltest du dir das Ganze aber auch nicht so ganz zu Herzen nehmen, auch wenns dir schwerfällt. Du musst nicht denken, dass es einen großen Unterschied für die Schüler macht, wenn die KL sich hinstellt und sagt "Frau Snuggles hat doch nicht geweint, das ist ein Gerücht", für die Schüler zählt auch, wie sich das Verhältnis zwischen euch weiter entwickelt, selbst wenn sie dieses Gerücht mal geglaubt haben. Wenn du streng und gerecht sein kannst, dann mach unbeirrlich weiter, und ZEIG ihnen damit, dass an dem Gerücht nicht viel dran sein kann.
Das ist nicht das schlimmste Gerücht, was über einen im Umlauf sein kann.