Ich denke, dass hier zwei Probleme aufeinander stoßen. Zum einen, wie oben schon erwähnt, ist das Problem, dass Schüler (und durchaus auch noch volljährige Schüler kurz vor dem Abit) häufig Soziale Netzwerke nicht als "öffentlich" begreifen und Dinge schreiben, die sie eben unter Freunden auch erzählen würden, egal welche Privatsphäreeinstellungen sie oder ihre Kontakte vorgenommen haben. Zum andere aber eben, dass sie dann doch häufig öffentlich sind, und dass man sich es als Lehrer nicht einfach gefallen lassen sollte/darf, in der Öffentlichkeit beleidigt zu werden, wie Elternschreck das prinzipiell richtig schreibt.
Ich würde mein konkretes Vorgehen hier von der "Härte" der Beleidigung abhängig machen. Mal ein paar Beispiele:
Schüler A bei Facebook: "Alter, Herr X ist so ein Arschloch ey. Der hat in der letzten Stunde vor den Prüfungen noch voll Unterricht mit uns gemacht, obwohl alle anderen Frühstück gegessen oder nen Film geguckt haben."
Die Beleidigung hier ist in einem Rahmen, die ich von Schülern im normalen Gespräch untereinander fast über Lehrer erwarte und die Kritik darin ist eine, die den Kollegen ja prinzipiell sogar besser dastehen lässt (gut liegt natürlich im Auge des Betrachters ;)). HIer würde ich normalerweise nur Kontakt zum Schüler aufnehmen und ihn darauf hinweisen, dass er sich überlegen sollte, was er vor wessen "Ohren" verlauten lässt.
Schüler B als Antwort: "Boah, das ist so ein dämlicher Wichser, dabei ist es bei dem echt egal, ob da Unterricht stattfindet oder nicht. Bei dem lernt eh keiner was."
Hier empfinde ich die "Signalworte" zum einen als härter (ist natürlich subjektiv) und die Schmähung ist ein ganz klares herziehen über den Unterricht. Hier würde ich in jedem Fall den Klassenlehrer/Tutor und wegen des letzten Teils wohl auch gleich den Schulleiter informieren und erzieherische Maßnahmen einfordern. Ich würde mich vermutlich nicht weigern, diesen Schüler weiter zu unterrichten / zu prüfen, aber das muss jeder selbst mit sich ausmachen und ich fände das eine durchaus nachvollziehabere Reaktion. Ob man in dem Gespräch mit dem Schulleiter konkrete Konsequenzen anmahnt oder diese offen lässt, hängt sicherlich mit der Einschätzung von dessen Persönlichkeit und dem jeweiligen persönlichen Verhältnis zur Lehrkraft ab. Ggf. kann man so ein Gerspräch auch mit gemeinsam mit dem Personalrat führen, wenn man meint, der Schulleiter würde sich nicht genut "hinter" einen stellen.
In diesem speziellen Fall würde ich zumindest auf Übernahme des Prüfungsvorsitzes durch den Schulleiter bestehen, damit sich dieser selbst ein Bild davon machen kann, dass ich die Prüfung "fair" durchgeführt habe. Das würde ich, aufgrund der besonderen Situation des Abiturs, in diesem speziellen Fall wahrscheinlich auch schon im Fall A aus Selbstschutz machen.
Sollte der Schüler dazu übergegangen sein und Dich auch Deinem Verhalten außerhalb des Unterrichts "hart angeganben" zu haben. Schüler C:"Das ist so ein Kinderficker, nur weil seine Alte so einen hässlichen Bock nicht mehr ranlassen will, muss er seinen Frust ja nicht an uns auslassen." Hier würde ich zwar auch auf eine Reaktion des Schulleiters bestehen, jedoch würde ich diesen im Gespräch vermutlich darauf hinweisen, dass ich unabhängig davon Anzeige erstatten würde, da die Nachrede hier nichts mit der Schule zu tun hat, sondern im privaten Bereich angesiedelt ist, ich also auch außerhalb der Schule Konsequenzen suchen würde.
Ich kann zwar prinzipiell verstehen, dass Du dazu tendierst das Ganze unter den Tisch fallen zu lassen, weil es sonst zu viel Stress macht, aber aus Selbstschutz würde ich das nicht tun. Und Prüfungsvorsitzübernahme durch den Schulleiter ist bspw. wirklich kein großer Aufwand, gibt dem Schüler zusätzlich zum Schutz Deiner Person noch ein deutliches Signal, da die Schüler das zumeist als große Belastung empfinden.