Wenn du als Vetretungslehrer in NRW / Grundschule arbeiten möchtest brauchst du einen offiziellen Arbeitsvetrag, dann bist du natürlich auch versichert und rechtlich abgesichert. Da die Schule selber dich nicht bezahlen kann, werden solche Verträge über das Schulamt gemacht. Ob das gemacht wird und welche Schule dich "bekommt" hängt von der personellen Versorgung der Schule ab.
Zurzeit werden wegen akuten Lehrermangels (GS /NRW) auch Vertretungsleute ohne abgeschlossene Lehrerausbildung eingestellt.
Die Kollegen haben dann die Aufgabe diese, teilweise noch völlig unerfahrenen KollegInnen "unterstützend zu begleiten".
Schauen kannst du auch in dem Onlineportal "Verena" https://www.schulministerium.nrw.de/BiPo/Verena/online
Dort schreiben auch Schulen direkt aus, Die Verträge gibt es anschließend trotzdem beim Schulamt.
Ansonsten habe ich (s.o.) von außerunterrichtlichen Tätigkeiten in der OGS (Offene Ganztagsgrundschule) im Anschluss an den Unterricht gesprochen. Auch dort kann man bezahlte Tätigkeiten ausüben. Dafür müsstest du gezielt bei den KoordinatorInnen nachfragen, ob Bedarf besteht.
Oder du bewirbst dich bei dem Träger der OGS, (bei uns zum Beispiel Invia) die betreuen meist mehrere Schulen und können dich, sofern irgendwo Bedarf ist, vermitteln.