Ich bin nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe. Du hast während deiner DIenstzeit mir deiner Klasse an einem Wettbewerb teilgenommen. Und zusätzlich hast du während deiner Dienstzeit an diesem Wettbewerb seperat als "Lehrer" teilgenommen?
Wenn dem So ist, bist du für beides bereits bezahlt worden. Das heißt alle Gewinne, die du während deiner Dienstzeit erwirtschaftest, sind (soweit ich weiß) rechtlich gesehen gewinne des Dienstherren. Das gleiche gilt im übrigen für Erfindungen, die während der Dienstzeit gemacht werden. Das "Eigentum" dieser Erfindung liegt beim Dienstherren.
Das hier ist aber nur aus dem Gedächnis, da ich da mal vor mehreren Jahren was drüber gelesen habe. Besser beraten wirst du durch einen entsprechenden Anwalt/Gewerkschaft.