Jeder Arbeitnehmer ist verpflichtet, für seinen Arbeitgeber erreichbar zu sein, üblicherweise innerhalb eines Arbeitstages.
Bis vor ein paar Jahren konnte der Arbeitgeber dafür das Vorhandensein eines privaten Telefonanschlusses verlangen. Die Rechtssprechung hat sich meines Wissens (ich kenne passende Urteile nicht spontan auswendig, wer sich dafür interessiert, kann sie aber finden) dahingehend geändert, dass inzwischen auch eine regelmäßige Erreichbarkeit per Mail ausreichend ist.
Also: eine "spontane" Erreichbarkeit kann nicht erwartet werden, aber es kann erwartet werden, dass eine Teilzeitkraft sich an ihrem freien Tag darüber informiert, dass sie am Folgetag in der 1. Stunde eine Vertretung hat, entweder indem sie ihre Mails liest oder indem sie per Telefon erreichbar ist. Diese Pflicht lässt sich nicht mit dem Verweis auf ein fehlendes Dienstgerät aushebeln.
Ausnahmen sind nur eingetragene Urlaube (von denen wir aber auch nur 30 Tage im Jahr haben).