Bist du an Thüringen gebunden?
Ich kann nur für NRW sprechen, dort bewirbt man sich selbstständig auf konkret ausgeschriebene Stellen. Die Schulform heißt "Weiterbildungskolleg". Die Stellen werden nicht sehr häufig ausgeschrieben, aber man hat gute Chancen, da es in der Regel wenige Bewerber gibt.
Versetzungen laufen ja in der Regel schon so ab, dass man sich mit der Schule abspricht, an die man gerne versetzt werden würde. Aber da können andere Kollegen sicher mehr zu sagen.
Eine weitere Möglichkeit der Sek1 zu entgehen ist es, sich auf eine Beförderungsstelle an einer reinen Sek2-Schule zu bewerben, da kann der Schulleiter auch genau nichts entgegnen und muss dich gehen lassen.
Ich persönlich kann deinen Wunsch gut verstehen, ich arbeite ja selbst an einem Weiterbildungskolleg in NRW und habe mich gar nicht erst auf andere Schulformen beworben. Berufskolleg könnte für dich auch eine Alternative sein, schonmal darüber nachgedacht? Da kann man in der Regel als Gymnasiallehrer auch gut unterkommen.