Das Problem erschließt sich mir noch nicht ganz, weil ganz offenkundig die Eltern zu diesen Zeiten die Aufsichtspflicht über ihre Kinder innehaben (da liegt sie ja nun einmal standardmäßig). Die Schüler sind zuhause und den Eltern ist bewusst, dass der Lehrer ganz offensichtlich die Aufsicht nicht wahrnehmen kann, damit greifen ganz regulär Aufenthaltsbestimmungsrecht und Aufsichtspflicht der Eltern gemäß §1631 BGB. Du gibst als Lehrer ja auch keine konkrete Weisung "von 8:45 bis 9:30 macht ihr eine Stadtrallye", sondern gibst ihnen den Auftrag das in der Woche zu erledigen. Zudem sollte natürlich geklärt sein, dass die Route für die Altersgruppe geeignet ist und keine unangemessenen Gefahren birgt (Erstklässler hin und her über die Hauptverkehrsstraße fände ich schwierig), das fällt aber nicht direkt unter Aufsicht, sondern unter deine Sicherungspflichten.
Wenn die Eltern diese Aufsicht nicht sicherstellen wollen oder können, dann sollen sie dich informieren, da wirst du dann auch nichts machen können, aber wie oft passiert das?