Aber wie soll das bei einer Selbstständigkeit festgestellt werden?
Das wird nicht festgestellt, sondern festgesetzt. Von Amts wegen.
Als Beamter bist du verpflichtet, deine volle Arbeitskraft dem Amt zu widmen - und deine Freizeit zur Wiederherstellung der Arbeitskraft.
Dein Arbeitgeber versteht dabei auch keinen Spaß. Eine ungenehmigte Nebentätigkeit kann als Dienstvergehen geahndet werden - und deine Einnahmen können eingezogen werden. Wie das funktionieren soll? Ganz einfach. Die werden dir vom Gehalt abgezogen. Punkt.
Nebentätigkeiten nur in einem engen Bereich zugelassen.
Zulässig (jedoch anmeldepflichtig) sind ohne Begrenzung nur Nebentätigkeiten im schriftstellerischen / künstlerischen Bereich.
Da ich als Autor selbst betroffen bin, habe ich einige Infos zusammengesucht und die Verweise zu den einschlägigen Regelungen hier abgelegt:
https://www.autenrieths.de/steuer.html#nebenjob
Ein Kollege hatte eine kleine Firma zur Produktion von pädagogischem Material gegründet. Diese Tätigkeit wurde nur unter Auflagen genehmigt. So durfte er keine Werbung im Internet und in pädagogischen Fachmedien dafür machen. Nur teure Direktwerbung (per Katalog) war gestattet.