Meiner Erfahrung nach wird vor allem dann versetzt, wenn sich die Bedarfslage im Verwaltungsbezirk zufällig mit deinem individuellen Versetzungswunsch deckt.
Ich kenne Kolleginnen und Kollegen, die sind teils 10, 15, 20 Jahre im Schuldienst, stellen Jahr um Jahr einen Versetzungsantrag, hätten auch wirklich schwerwiegende persönliche Gründe für eine Versetzung... Naja, und der Antrag wird halt Jahr um Jahr ad acta gelegt weil der Bedarf eine Versetzung halt nicht hergibt...
Kann deine jetzige Schule auf dich problemlos verzichten? D.h. ist sie mit deinen Fächern so gut versorgt, dass sie niemanden einstellen müsste um deinen Weggang aufzufangen? (-> Falls das nicht der Fall ist, kannst du meiner Erfahrung nach die Versetzung direkt vergessen.)
Wie bist du an diese Schule gekommen? Über Liste oder über ein schulbezogenes Ausschreibungsverfahren? (In BaWü ist es so, dass man über Liste drei Jahre gebunden ist; über das schulbezogene Verfahren sogar fünf Jahre.)
Wie sieht die Bedarfslage allgemein aus? Werden deine Fächer "gebraucht"? Gibt es Schulen im Verwaltungsbezirk, die eventuell einen großen Mangel an deinen Fächern haben?
Hast du auch gewichtige Gründe (persönlicher, gesundheitlicher Natur) wegen derer du dich versetzen lassen willst? "An meiner jetzigen Schule gefällt es mir nicht" ist ein bisschen dünn... Denn: Woher weißt du denn, dass es an einer anderen Schule besser sein würde? (Was du beschreibst, halte ich für ein sehr weit verbreitetes Problem...)
Diese ganze Unternehmung zu starten "ohne, dass die Schulleitung davon Wind bekommt", halte ich für sehr gefährlich. Du wirst bei jeder beruflichen Veränderung immer auf die Mitwirkung deiner Schulleitung angewiesen sein... Das läuft halt so im Beamtentum. D.h. wenn du die Schulleitung nicht auf deiner Seite hast, kannst du Vieles direkt mal vergessen. Auch eine Versetzung, da die Schulleitung dich erstmal "freigeben" muss, damit du überhaupt versetzt werden kannst. Und wenn du da "hinter dem Rücken" deiner Schulleitung agierst, könnte ich mir durchaus vorstellen, dass man da auf "stur stellt".
Eine einfache Möglichkeit die Chance auf einen Schulwechsel zu haben, ist sich einfach ein Sabbatjahr anzusparen. Und dann eben zu hoffen, dass man danach an eine andere Schule kann. Auslandsschuldienst wäre auch eine Möglichkeit. Bis zur Rückkehr hat sich die Bedarfslage evtl. so verändert, dass du an eine andere Schule kannst... Ja, oder eben schwanger werden. Aber all das ist auch keine Garantie, dass man danach an eine andere Schule kommt. Je nachdem wie dringend deine Fächer gebraucht werden, wird man u.U. versuchen, dich zu behalten...
Was ich jetzt an deiner Stelle machen würde: Gehe nochmal in dich, ob das wirklich Gründe sind, wegen derer du dich versetzen lassen willst und ob sich nicht mittel- bis langfristig noch gewichtigere Gründe ergeben könnten, die eine Versetzung dringender machen würden. Falls du wider Erwarten zu dem Schluss kommen solltest, dass du unbedingt versetzt werden möchtest, ist die erste Adresse für dieses Anliegen deine Schulleitung. Denn ohne deren Zustimmung wird nichts laufen. Überlege dir, wie du es verpackst, dass du jetzt in dieser Situation unbedingt versetzt werden möchtest. Am besten führst du ausschließlich persönliche Gründe an! Falls die Schulleitung dich entbehren kann und dein Vorhaben unterstützt, wende dich zunächst an die zuständigen Personaler und frage nach der Bedarfslage. Wo werden deine Fächer dringend gebraucht? Parallel könntest du im kommenden Schuljahr mal selbst die Ausschreibungen checken. Vor allem im ländlichen Raum würde ich schauen. Diese Schulen haben oft Probleme, Lehrkräfte zu bekommen. Sollten sich dadurch eine oder mehrere Schulen herauskristallisieren die Verwendung für dich hätten, würde ich denen (Personaler, SL vor Ort) auf den Füßen stehen und ggf. auch den BPR um Unterstützung bitten.
Wie gesagt, ich an deiner Stelle würde das alles nochmal überdenken. Konzentriere dich doch auf dich und deine Arbeit. Was tangiert dich denn die "Larifari-Einstellung" anderer Kollegen? Wegen welcher "externen Einflüsse" meinst du, keinen "richtigen Unterricht" machen zu können? Was ist überhaupt "richtiger" Unterricht? (Diese Fragen sollst du natürlich nicht hier öffentlich beantworten... Einfach als Denkanstöße für dich...)
Ich wünsche dir auf jeden Fall viel Erfolg und ein gutes Durchhaltevermögen. (Ich habe selbst jahrelang versucht, eine Versetzung zu erwirken und es endlich zum neuen Schuljahr geschafft. Ich weiß also, was auf dich zukommt.)