Ich selbst habe noch keine Kur beantragt, habe aber von einer Kollegin, die aufgrund psychischer Probleme eine Kur gemacht hat, und einer Freundin, die Finanzbeamtin ist (Kur aufgrund einer Stoffwechselerkrankung), gehört, dass der Antrag - der von dir selbst gestellt wird (in "Zusammenarbeit" mit deiner behandelnden Ärztin/Arzt) - bei der Beihilfestelle (und bei der PKV, wenn die Übernahme eines Teils der Kosten für Kuren/Rehamaßnahmen in deinem Vertrag mit drin ist) gestellt werden muss. Für NDS kann man online die notwendigen Formulare herunterladen. Man macht dann einen Behandlungsvertrag mit der Kurklinik, die man sich ausgesucht hat und die einen Platz für den ausgewählten Zeitraum zur Verfügung stellen kann. Bei beiden der oben Genannten wurde der Antrag unproblematisch genehmigt, sie mussten aber - wenn ich mich richtig erinnere - einen Teil der Kosten selber tragen.
In NDS darf m. E. bei Lehrkräften nur ein Drittel des Kurzeitraums außerhalb der Ferien liegen.
Einige Infos findest du GoldenGirl hier: Lehrergesundheit: Wie beantrage ich eine Kur? | Betzold Blog