Die Probezeit wird auf ein Jahr verkürzt - das ist das Minimum. Bei mir wurde die Zeit auf Vertretungsstellen "automatisch" angerechnet. Manchmal werden die Zeiten an Ersatzschulen nicht "direkt" beachtet. Dann kannst du einen Antrag stellen bei der Bezirksregierung (am besten einfach Kontakt aufnehmen). Bedingung ist meines Wissens mind. 50% Arbeitszeit, damit Zeiten angerechnet werden. Das ist ja bei dir der Fall. Dann hast du zwei Stunden, die du zeigen musst und wenn alles gut geht, bist du nach einem Jahr auf Lebenszeit verbeamtet.
Hashimoto wird kein Problem sein. Ich würde mir vom behandelnden Arzt ein Schreiben holen, dass du "gut eingestellt" bist o.Ä., ggf. auch mit aktuellen Werten.
Bei der Psychotherapie am besten kurze Schreiben der behandelnden Ärzten/Therapeuten, dass du genesen bist. Und vllt. auch ein "neues" Gutachten erstellen lassen, dass du gesund/belastbar bist etc. Mit leeren Händen dastehen ist immer irgendwie blöd - weil dann musst du Dinge nachreichen etc.
Vorher kannst du ja eine Rechtsschutz abschließen zur Sicherheit, falls du noch keine hast. Ich glaube aber, dass das mit der Verbeamtung ohne den Umweg über die Schwerbehinderung klappen wird. Das wäre dann noch eine weitere Option (z.B. bei chronischer Krankheit).