Brüche in Prozent umwandeln (entdeckendes Lernen)

Falls Du Glück hast und in Deiner Klasse sind 20 oder 25 Schüler:

Einstieg: Zeitungsartikel "bereits 80% der 5klässler haben ein Smartphone" (irgend einen Artikel in der Art findest Du).

Weiß jemand von Euch, was das heißt? (-> musst Du Glück haben, dass es jemand weiß, normalerweise ist das in einer 5ten Klasse der Fall)

Wie ist das in Eurer Klasse?

...

Oder, wenn (wie ich vermute) in der Klasse nicht gerade 20 Schüler sind:

In der Klasse 5c der Susi Samsung Schule sind 25 Schüler. Davon haben 22 ein Smartphone.

Wie wäre es bei 50 bzw. bei 100 Schülern, wenn der Anteil gleich bleibt?

Das Grundproblem: % ist nunmal ein festgelegter Begriff. Da kann man nicht "entdeckend" draufkommen, es ist nur pseudo-entdeckend, wenn Du darauf hoffst, dass es schon jemand weiß.

Alternativ kannst Du den Prozentbegriff mit ein paar einfachen Beispielen einführen, wo aber die Grundmenge jeweils 100 ist. Dann die Aufgabe mit der 5c stellen, darauf können die Schüler dann selbst kommen. Auf den Prozentbegriff aber eigentlich nicht.

Spontan von einem nicht-Mathe-Lehrer, der keine Ahnung hat, ob 5. Klässler ein Kuchendiagramm lesen können:

[Lehrer zeichnet einen Kreis an die Tafel und notiert "30" darüber]
"In Eurer Klasse sind 30 Schüler - wie viele davon sind eigentlich Jungs und wie viele Mädchen?
13 Jungs und 17 Mädchen? [Lehrer notiert "13" in die obere und "17" in die untere Hälfte des Kreises]
Wie viel Prozent sind denn das ungefähr? Was meinst Du, Thea-Korbiniane? Etwas mehr als 50% Mädchen? Was heißt 'etwas mehr'? 55%? 60%? Ich schreibe Deinen Tipp mal mit Gelb hier auf die linke Seitentafel. Möchte noch jemand einen Tipp abgeben? Kai-Ruben? Ok, ich schreibe Deinen Tipp mal dazu... Mal sehen wer Recht hat...

Wie wäre denn das Verhältnis, wenn es - theoretisch - in einer Klasse ganz genau 15 Jungs und 15 Mädchen wären?
"50%"? Woher weißt Du das, Chayenne? "Weil es genau die Hälfte ist" - aha!? Das heißt eine Hälfte - ein Halb - sind 50%. Das kann man auch so aufschreiben: 1/2 = 50% = 0,5
Ein Halb ist gleich 50% ist gleich... ja, ein Halb! Das sind verschiede Schreibweisen, aber es ist genau die gleiche Zahl. Nur anders geschrieben!

Bei ein Halb ist das leicht, das weiß ja jeder, dass die Hälfte 50% sind, wenn man Fifty-Fifty macht. Das ist wie wenn man einen Kreis in der Mitte teilt, jetzt haben beide Hälften 50%, zusammen sind sie ein ganzes: 100%.
Was ist aber, wenn es kein Halb, sondern ein Viertel ist? Das kennt Ihr doch von Euren Vokabeltests,
1/4 = 25% = 0,25 (Kreis mit 4 Viertel-Teilen)
Okay.. und ein Zehntel?
1/10 = 10% = 0,1 (Kreis mit 10 Zehntel-Teilen)
[Alles so aufschreiben, dass die Nenner und Dezimal-Stellen möglichst vertikal untereinander stehen]

Jetzt mal was Schwieriges:
Wie viel Prozent sind 1/77? Jetzt hab' ich eine extra blöde Zahl genommen, mit Absicht! Das weiß bestimmt niemand auswendig.
Habt ihr eine Idee wie wir das ausrechnen können, wenn ihr Euch die anderen Verhältnisse anschaut?

Ggfs: Nein? Der Bruchstrich heißt ja, dass geteilt wird. Bei 1/2 wird also 1 durch 2 geteilt. Gebt das mal in den Taschenrechner ein! Und jetzt mit 1/4... Na also!
Super! Wie viel Prozent sind 1/21? Und 1/21,5?
Wir teilen das kleine Kuchenstück durch den ganzen Kuchen! (Verweise auf die Kreise mit halben und viertel und zehntel - Stücken)

So, dann kommen wir mal zurück zur Ausgangsfrage bzw. unserem großen Kreis mit 30 Schülern... 13 Jungs und 17 Mädchen.
Die Linie zeichne ich mal pi mal Daumen in den Kreis - ich weiß ja, dass es etwas mehr als die Hälfte sein muss - aber Ihr sagt mir jetzt genau - und zwar ganz genau - wie viel Prozent Jungs und wie viel Prozent Mädchen es sind!

So! Jetzt habe ich hier die zwei Prozent-Zahlen... Ich glaube Euch des schon, dass das Ergebnis richtig ist, aber wie kann ich mir sicher sein? Wie kann ich kontrollieren? Schaut Euch mal die beiden Zahlen an...
...
Genau, zusammen ergibt das 100%. Oder auch "ein ganzes". Wenn man 100% gibt, gibt man ja immer alles, das Ganze. 100% = 1

Arbeitsblatt:
Dezimalzahlen und Brüche in Prozentzahlen umwandeln
Prozentzahlen in Dezimalzahlen und Brüche umwandeln
Textaufgabe: "3 Rothaarige und 4 blonde - wie viel Prozent von Familie Schmidt ist rothaarig?"
Textaufgabe: "3 Rothaarige, 4 blonde und 8 dunkelhaarige - wie viel Prozent von Familie Müller ist rothaarig?"
etc.

Aufschrieb:
"Pro-Zent" heißt "von Hundert"
Man muss immer mit 100 mal nehmen oder teilen, je nachdem ob man von oder in eine Prozent-Zahl umwandeln will
etc.

Ich hab das bisher einfach mit einem leeren Hunderterfeld eingefuehrt.
Wir haben die Haelfte ausgemalt, war 50/100...und 50%, weil "percent"="in every 100" bedeutet.
Dann das Gleiche noch mit anderen Zahlen, erst einmal immer ueber 100.
Wenn das sicher war, haben wir auch Brueche umgewandelt.

Errechnung durch Teilen kam dann erst ein bissl spaeter, wenn ich auch die Kommazahlen mit dazu genommen habe. Ausgang war immer unser Hunderterfeld.

Ich hab das mal mit folgendem Einstieg gemacht, den ich ganz nett fand, war aus einem Schulbuch.

Es ging um ein Basketballspiel, der eine sagt, "ich habe 5 von 20 Körben getroffen". Der andere meinetwegen, dass 30% aller Würfe ein Treffer waren.

Dazu braucht man eigentlich nicht viel zu sagen, denn die meisten haben eine Vorstellung des Prozentbegriffes.

Zitat von state_of_Trance

Ich hab das mal mit folgendem Einstieg gemacht, den ich ganz nett fand, war aus einem Schulbuch.

Es ging um ein Basketballspiel, der eine sagt, "ich habe 5 von 20 Körben getroffen". Der andere meinetwegen, dass 30% aller Würfe ein Treffer waren.

Dazu braucht man eigentlich nicht viel zu sagen, denn die neisten haben eine Vorstellung des Prozentbegriffes.

Mache ich meist ähnlich.
Anlässlich der WM könntest du das auch mit Fußball aufziehen.

Den Prozentbegriff kennen die meisten Schüler. Das "cent" von Prozent kann man auch mit €-Cent oder Zentimeter herleiten.
Das klappt meist ganz gut.

Zitat von Krabappel

Wie soll sie denn aber nun von den 13 und 17 zu Hundertsteln kommen?
Hunderterfeld macht schon Sinn, auch wenn kein Lebensbezug da ist. Wichtig ist die Anschaulichkeit des „...von Hundert“. Prozentuale Anteile spielen im Leben von Kindern (außer bei Akkuladung vielleicht) eh noch keine Rolle.

Wenn dann muss man von den 30 auf die Hundertstel. Nicht unmöglich, aber schon bisschen schwieriger.
Ich würde das nicht bestätigen, dass Prozente keine Rolle spielen. Die sehen die doch überall.

Und selbst aus dem Handyakku lässt sich ein Einstieg bauen. Der eine hat 30% Akku, der andere hat 2 von 5 Balken. Wer hat mehr Akku?

Wenn es eine Einführungsstunde ist, würde ich mich auf Brüche beschränken, die tatsächlich auf 100tel erweiterbar sind.
Sonst ist der Anknüpfungspunkt zur Bruchrechnung auch gar nicht gegeben.

Lebensweltbezug: Fast jeder wird wissen, was 50% und was 100% bedeutet (... heute war er 100% fit ..., 100% Akku ist auch ein gutes Beispiel).

Wie schreibt man diesen Anteil als Bruch? usw .

Zitat von state_of_Trance

Wenn dann muss man von den 30 auf die Hundertstel. Nicht unmöglich, aber schon bisschen schwieriger.

Ich bin wie gesagt kein Mathelehrer - ich verstehe nicht, was ihr mit dem Hundertstel habt.
13 / 30 = 0,4‾3 ≈ 43%
17 / 30 = 0,5‾6 ≈ 56%

Wozu auf Hundertstel erweitern? Da gewöhnen sich die Schüler doch einen total überflüssigen Umweg an, oder nicht? Oder soll damit die mentale Verknüpfung von "Pro-zent" auf "für Hundert" gestärkt werden?

Das wichtige ist doch, dass die Schüler später, wenn man z.B. ausrechnen soll, dass etwas 17% teurer ist, direkt mit 1,17 mal nimmt ohne vorher irgendwie auf Hundert zu erweitern. Oder sollte dieser direkte Weg didaktisch erst später kommen?

Zitat von state_of_Trance

Und selbst aus dem Handyakku lässt sich ein Einstieg bauen. Der eine hat 30% Akku, der andere hat 2 von 5 Balken. Wer hat mehr Akku?

So einfach, so gut!

Genau. In Klasse 5 geht's nicht darum, möglichst schnell ein paar Prozente auszurechnen.

Und, übrigens: Es ist sehr wohl unmöglich, von 30teln auf 100tel zu kommen! Jedenfalls in dem Zahlenbereich, in dem man sich in Klasse 5 befindet.

Zitat von Krabappel

das Wichtigste ist, dass 11-Jährige wissen, wovon ihr Lehrer spricht. Es geht um eine Einführung in Klasse 5

Haha ja schon... Ich kenne eben Schüler, die zwar "sicher" rechnen, aber so einen Dreisatz-Umweg dafür machen:

Aufgabe: Produkt kostet normal 12,99, aber heute gibt's 10% Rabatt. Kosten?

100 % ≙ 12,99 € | /100

1 % ≙ 0,1299 € | *10
10 % ≙ 1,299 €

12,99 € - 1,299 € = 11,691 €

Anstatt direkt:
12,99 € * 0,9 = 11,691 €

Deswegen verstehe ich das mit dem Erweitern auf Hundertstel nicht. Aber ich lasse es mir gerne erklären! (Wie gesagt, bin ja kein Mathe-Lehrer.)

Zitat von goeba

Genau. In Klasse 5 geht's nicht darum, möglichst schnell ein paar Prozente auszurechnen.

Ok, verstehe.
Ab welcher Klasse (ca.) wird denn "direkt" mit den Prozenten gerechnet?

Zitat von Wollsocken80

Jetzt aber mal aus rein didaktischem Interesse: Wann und wie kommt ihr dann auf die 17/30 = 56 %? Ich erlebe nämlich leider immer wieder Oberstufenschüler, die auf genau diesen "Umwegen" mit den Hundertsteln oder auch mit dem krampfhaften Runterrechnen auf 1 % hängengeblieben sind. Ich frage mich einfach, was da wohl schief geht ...

Genau um dieses "krampfhaften Runterrechnen auf 1 %" geht's mir.

IMHO verstehen diese Schüler ganz grundsätzlich nicht, dass Prozent nur eine andere Schreibweise der gleichen Zahl ist.

Wenn man eine Weile die Umwandlung von Dezimal in Prozentzahlen und umgekehrt übt, anfangs von mir aus noch mit dem Taschenrechner (mal oder geteilt durch 100) oder mit "Komma verschieben", "sieht" man irgendwann, wie viel Prozent eine Dezimal-Zahl ist.
Dieses "sehen" scheint mir der Beleg dafür, dass man verstanden hat, dass es nur eine andere Schreibweise der selben Zahl ist.

Hier haben ja kürzlich die Lehrpläne recht häufig gewechselt, daher alle Angaben nur ungefähr (ich habe die kleineren Klassen länger nicht unterrichtet).

In Niedersachsen macht man Prozentrechnung am Ende von Klasse 6. Da macht man dann zunächst immer den Schritt auf 1%, dann auf die gewünschte Prozentzahl hoch (krampfhaftes Runterrechnen).

Schon hier kann (und soll) man aber die äquivalente Multiplikation mit einem Dezimalbruch einführen. Nur stelle ich es für gewöhnlich frei, wie die Kinder es in Klasse 6 dann in der Arbeit ausrechnen, ich übe da keinen stumpfen Formalismus ein. Es ist mir lieber, sie haben verstanden, was sie tun.

Ich persönlich wiederhole das in den höheren Klassen auch immer wieder und automatisiere (17% ausrechnen heißt *0,17, fertig).

Wirklich systematisch wieder dran kommt es aber erst in Klasse 10 bei exponentiellem Wachstum (Zinseszinsrechnung ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum, und da braucht man einen Wachstumsfaktor, 3% Zinsen heißt Wachstumsfaktor 1,03 usw.)

Übrigens: 15/30 sind nicht 56%. Deswegen macht man das erst, wenn man das korrekte Runden eingeführt hat und das "ungefährgleich" Zeichen

Ergänzung: Ein ganz guter Grund, das so zu machen, sind Aufgaben folgenden Typs:

Eine Hose wurde um 12% im Preis reduziert. Jetzt kostet sie 78,88€. Wie viel hat sie vorher gekostet?

Wenn man nun dumpf geübt hat "12% = 0,12, damit irgendwie rechnen ..." dann geht es schief.