Hallo, ich hab hier Matheaufgaben der Tochter eines Bekannten. Sie hat die nicht lösen können, daher hab ichs versucht, aber ich bin gescheitert.
Kann mir jemand helfen? Ich will es nur verstehen!:-)
Beispielaufgabe:
X2 (zum Quadrat heißt das) +6x + 11 =
(x + 3)2 (zum Quadrat) +9-9 +11=
(x+3)2 (zum Quadrat) +2
Zu lösende Aufgabe:
X2 (zum Quadrat) +10x +30=
Das Mädchen ist längst fertig, aber ich hab die Lösung nicht. Kann mir das einer erklären? Ich verstehe den Rechenweg nicht...
Versteh ich das richtig, dass ein Binom rauskommen soll, zu dem noch eine Zahl addiert wird? Da fiele mir spontan (x+5)² +5 ein.
Da ich aber keine Schwierigkeit darin sehe, hab ich entweder Deine Frage nicht verstanden, oder mich vertan 
Gruß,
DpB
Die ganzen Aufgaben zur ersten und zweiten binomischen Formel kannst du ganz schematisch lösen:
1. Alles durch den Faktor vor dem Quadrat teilen. (Hier nicht nötig, da 1.)
2. In den linearen Term (+10x) gucken. Die Hälfte des Vorfaktors steht hinterher in der Klammer, also die 5.
3. Das Vorzeichen des linearen Terms entspricht dem Vorzeichen in der Klammer (x+5).
4. Von der Konstanten ziehst du das Quadrat ab (30-25) und bekommst quasi den "Rest"
5. Dann baust du dir das Binom zusammen: (x+5)²+5
Im Grunde läuft das auf geschicktes Kombinieren heraus.
Der mathematische Inhalt ist, dass man Terme nach ihren zu Grunde liegenden Strukturen klassifizieren kann und sich diese zu Nutze machen kann, um Terme umzuformen und für die jeweilige Anwendung zu vereinfachen.
X2 (zum Quadrat heißt das) +6x + 11 =
(x + 3)2 (zum Quadrat) +9-9 +11=
(x+3)2 (zum Quadrat) +2
Zu lösende Aufgabe:
X2 (zum Quadrat) +10x +30=
In der zweiten Reihe ist die plus 9 zu viel, oder?
x² + 6x + 11 soll als ein Binom geschrieben werden, das funktioniert aber nicht direkt, weil es kein ausgerechnetes Binom ist. Also findet man raus, was das b sein müsste, da a²+2ab+b² = (a+b)² ist, muss also 6x = 2ab sein, also ist a=x und b=3, weil Hälfte von 6. Deswegen muss b²=3²=9 sein.
Also rechnet man zu x²+6x noch +9 dazu, weil das das Binom ergibt, um die Gleichung zu erfüllen muss man dann aber auch -9 rechnen, damit es gleich bleibt, daher wäre die zweite Zeile:
x²+6x+9-9+11, davon kann man die ersten drei als Binom schreiben, der Rest bleibt dahinter und wird ausgerechnet, also:
(x+3)²-9+11, also (x+3)²+2
Für die zu lösende Aufgabe:
x²+10x+30=
x²+10x+25-25+30=
(x+5)²-25+30=
(x+5)²+5
Was man hier macht, ist eine quadratische Ergänzung. Das Ergebnis ist die Scheitelform einer quadratischen Funktion. Aus ihr kann man den Scheitelpunkt ablesen.
Wenn man den Term 0 setzt und den "Rest" auf die andere Seite bringt, kann man die Wurzel ziehen. Daraus ergibt sich auch die pq-Formel.
Hall, und vielen Dank! Ich versteh zwar immer noch größtenteils Bahnhof, werde mich aber durchbeißen Ich habe Mathe nicht studiert, falls das jemand missverstanden hat
Ich füge hier gleich mal das Foto von dem Aufgabenblatt ein.
...Ich versteh zwar immer noch größtenteils Bahnhof,...
Ich versuche es mal so, wie du es sicher schonmal gesehen hast.
"zum Quadrat" = ^2
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kennst du doch bestimmt ? (1. Binomische Formel)
Bei diesen Aufgaben kommt zu (a+b)^2 halt noch was dazu. Zum Beispiel 7.
Also: (a+b)^2 + 7 Wenn du nun die Klammer auflöst, verschwindet diese 7 ja nicht.
Du erhältst also a^2 + 2ab + b^2+7
Bei diesen Aufgabenm die du da hast, ist das a immer c, b irgendeine Zahl.
Bei deiner ersten Beispielaufgabe x^2 + 6x + 11 ist das b eine 3. Nämlich die Hälfte von der 6 (6x entspricht hier 2ab)
ich kenne nun also das a (x) und das b (3) und kann die schonmal einsetzen:
(x+3)^2
Wenn ich das auflöse, erhalte ich x^2 + 6x + 9 . In der Aufgabe sind es aber nicht 9 sondern 11. Also ist dort eine 2 "zu viel" , darum muss die bei der Form mit der Klammer mit dazu. Also:
(x+3)^2 + 2 = x^2 + 6x + 9 + 2 = x^2 + 6x + 11
Das sind alles Aufgaben vom Typ (a+b)^2 + Zahl = a^2 + 2ab + b^2 + Zahl
und das dann halt rückwärts.
Hall, und vielen Dank! Ich versteh zwar immer noch größtenteils Bahnhof, werde mich aber durchbeißen
Schon klar. ich dachte, es wäre nützlich zu wissen, wonach man googeln kann.
Beispiele gibt es z. B. hier http://www.frustfrei-lernen.de…dratische-ergaenzung.html
oder hier
