Realschule Mathe - Rundungsfehler (Exaktheit - Verfälschung)

Natürlich ist 4,0 = 4. Mathematisch zumindest. 40/10 = 4,00000 ist nicht falsch. (nur unsinnig)
Bei Messwerten schreibt man aber die 0 nur, wenn sie signifikant ist.
Also, wenn ich wirklich 4,0 (was auch immer) gemessen habe und eben nicht 4,1.
Weil sonst eine Genauigkeit vorgetäuscht wird, die nicht da ist.
Und mit der erwähnten Din-Norm hat das gar nichts zu tun.

Naja, es kann ja jeder mal selbst nachlesen. Das wird da schon beschrieben.

Denk bitte daran, dass es hier um das Runden bei Schüleraufgaben zu "Flächen/Volumen/Umfängen" ging.

Beispiel:
Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4,1 cm. Wie groß ist der Umfang?

Schülerrechung:
u=2*pi*r=25,76...
Antwort: Der Umfang beträgt 25,76 cm.

Das Runden auf zwei Nachkommastellen wäre bei diesem Beispiel so nicht sinnvoll. Es täuscht hier nämlich eine Genauigkeit vor, die nicht vorhanden ist.

r min ist hier 4,05. Damit ergibt es einen Umfang von etwa 25,45 cm
r max ist hier 4,15. Damit ergibt sich ein Umfang von etwa 26,08 cm

Dies war nur EIN Punkt den man beim Runden beachten muss. Nicht DER Punkt. Meine Vorredner (und ich) haben noch andere Punkte aufgezählt, die zu beachten sind.

Ach, hanuta, ich hatte es eben noch ganz vergessen zu schreiben:

Zu deiner Bemerkung "Mathematisch zumindest":
Und was hat das mit mir und meinen Antworten zu tun? Mein Antwort (vor fast 24 Stunden; die 6. Antwort auf den ursprünglichen Beitrag) lautete "für Physiker ist 4 und 4,0 etwas anderes". Wenn du mich widerlegen möchtest, dann aber auch bitte meine Behauptungen nicht "verfälschen".

Zitat von Volker_D

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4,1 cm. Wie groß ist der Umfang?

...
r min ist hier 4,05. Damit ergibt es einen Umfang von etwa 25,45 cm
r max ist hier 4,15. Damit ergibt sich ein Umfang von etwa 26,08 cm

Was richtig wäre, wenn in der Aufgabe stünde, der Radius beträgt ungefähr 4,1. Oder wenn es um Fehlerbeteachrungen geht.
(Der Fehler wird dann aber schon beim Radius angegeben)
Das wäre sowas wie
a) Zeichne einen Kreis mit...
b) Gib eine Einschätzung des Fehlers ....

Zur angeblichen Haltung der Physiker hatte ich mich schon geäußert.

1. Du verfälscht schon wieder meine Aussage. Lies mal genau meine Aufgabe und frage dich doch mal auf wie viele Nachkommastellen der Schüler das zeichnen kann. Du nimmst an, dass er das ganz genau könnte. Kann er aber nicht. Er kann es nur "ungefähr".
2. Guck dir doch mal die meisten Produktbeschreibungen an (wenn du etwas kaufst). Dort steht auch, dass ein Tisch z.B. 900*550*450 groß ist. Das ist NIE auf unendlich viele Nachkommastellen genau. Das ist immer nur "ungefähr". Wenn man das Wort "ungefähr" nicht schreibt, dann geht ein Physiker davon aus, dass die Stellen signifikant sind. Wenn man das Wort "ungefähr" zuschreibt, dann zeigt dass an, dass die Stellen nicht signifikant sind. Dass ist ja gerade der Sinn des Wortes "ungefähr". Das im Alltag evtl. größere Toleranzen erlaubt sind ist mir auch klar. Aber das und/oder das Wort "ungefähr" macht die Sache dann ja dann noch schlimmer! Wenn es nur "ungefähr" 4,1 ist, dann könnte ich für r max einen noch größeren Wert und für r min einen noch kleineren Wert annehmen und das Runden auf zwei Nachkommastellen wird noch absurder, da das Intervall noch größer wird.

Ich hatte es gestern (oder heute; je nach Definition) gar nicht gesehen, daher noch ein Nachtrag:

3. Du verfälscht meine Antwort auch noch in einem weiteren Sinn. Ich habe nie gesagt, dass der Schüler u min und u max berechnen soll. Ich habe nur gesagt, dass zwei Nachkommastellen dort eine Genauigkeit vortäuschen, die nicht vorhanden ist. Sprich: Das Runden ist so nicht besonders sinnvoll. Das Berechnen von u min und u max habe ich nur gemacht, damit du erkennen kannst, dass es unsinnig ist. Meinen Schülern (Realschule) zeige ich diesen Sachverhalt auch nur ein mal. Die müssen mir danach auch nie mehr die Grenzen berechnen. Ihnen soll nur Bewusst sein, dass es sie gibt und das Runden nicht so einfach ist wie viele denken.

Um deine Verwirrung dann mal etwas weiter zu erhöhen:
4. a) Was denkst du - Auf wie viele Nachkommastellen kann der Schüler 4,1 cm ganz genau zeichnen. Also 4,100... ?
b) Hast du schon mal darüber nachgedacht, dass der Taschenrechner des Schülers im Binärsystem arbeitet?
c) Ist die klar wie viele Nachkommastellen die Dezimalzahl 0,1 im Binärsystem hat?
d) Ist der klar wie viele Stellen der Taschenrechner aber nur zum Speichern der Gleitpunktzahl hat?

Du argumentierst immer aus der reinen Mathematik. Die reine Mathematik verstehe ich auch. In der reinen Mathematik hast du recht. Darum ging es hier aber nicht. Daher hatte ich es extra in meinem ersten Beitrag betont und es hat auch schon im ursprünglichen Beitrag gestanden.

Mach dir keine Sorgen: Die Modelle der Mathematik, Physik und Informatik können (oft) problemlos nebeneinander existieren. Vielen Leuten ist der Unterschied gar nicht klar. Die Leute, die den Unterschied kennen, können damit (oft) problemlos leben. (Zumindest die Physiker. Die sind das aber auch schon aus ihrem eigenen Fachbereich gewohnt, wenn sich Modelle widersprechen und trotzdem beide sinnvoll sind und benutzt werden. Ich weiß nicht wie problemlos es für Informatiker ist. Die müssen viel genauer über solche Dinge nachdenken, da ansonsten schon sehr leichte Rechenaufgaben bei unserem Taschenrechner sehr schnell falsche Ergebnisse liefern würden. Die benötige da genauere Rundungsregeln. Da bin ich jetzt aber nicht ganz auf dem aktuellen Stand wie zufrieden bzw. unzufrieden die sind.)

Das würde ich so nicht sagen.

Natürlich sollte man i.d.R. so lange wie möglich genau rechnen. Zum Schluss runden ist auch gut. Man sollte nur überlegen wie sinnvoll das ist.
Die "echten" Physiker können dir bei deren Versuchen auch Ergebnisse mit locker mehr als 10 signifikanten Stellen angeben. Die Runden auch nicht immer auf wenige/keine Nachkommastellen, so wie das in einer der oberen Antworten angedeutet wurde.

Die Regel mit den zwei Nachkommastellen wird einfach nur gemacht, weil sie sehr leicht zu verstehen ist.
Sinnvoll ist das aber nicht immer.

Bsp:
a) 8 gleiche Kisten wiegen 1,000t. Wie schwer ist eine? Da würde ich nicht runden und 0,13t angeben, sondern 0,125t oder 125kg angeben. (Da die drei Nachkommastellen signifikant sind.)
b) Ein Atomkern ist etwa 1*10^-10m groß. Wie groß ist es? Gerundet 0m oder 0,00m? Sinn?

Aber Achtung. Das genaue Rechnen des Mathematikers kann auch "falsch" sein. Und das Runden ist das richtige.

Beispiel:
1000€ werden 20 Jahre auf einem Konto liegen gelassen. Der Zinssatz ändert sich nie und liegt immer bei 3% pro Jahr. Die ausgezahlten Zinsen werden nicht abgehoben. Wie groß ist das Kapital am Ende der Laufzeit?

Mathematiker:
1000*1,03^20=....

Tja, die Bank rechnet anders:
1000*1,03=x1
x1 wird auf zwei Nachkommastellen gerundet.
im nächsten Jahr dann
x1*1,03=...
...

Dann kommst du auf ein anderes Ergebnis. Da weicht die "Mathematik" von der Wirklichkeit ab.

Im Unterricht gehe ich so vor:
Solange das Ergebnis im Unterricht durch Runden nicht zu stark von einem sinnvollen Wert abweicht, ist es richtig. Wenn es zu stark abweicht, dann begründe ich das dem Schüler und zeige, wie er es vermeiden kann.

Die Frage ist eigentlich ganz einfach zu beantworten: "S' kommt drauf an!"

Einer der oft verwendeten Sätze in den Aufgaben an der Hauptschule lautet: "Runde sinnvoll". Wir bilden Schüler aus, die anschließend in Handwerksbetriebe gehen - keine mathematiktheoretischen Koriphäen.

Wichtig ist
a) die Maßeinheit
b) die Zweckbestimmung des Ergebnisses

Wenn das Ergebnis den Durchmesser eines Bohrloches in der Betonwand ergibt und ein Schüler hier 17,3475 mm angibt, erhält er - trotz des exakten Ergebnisses - Punktabzug.
Wenn er jedoch 17,456 km auf 17 km abrundet, ergibt sich ebenfalls ein Punktabzug.

Rechnet ein Schüler bei der Umfangsberechnung eines Planeten mit der verkürzten Pi-Angabe von 3,14 und verhaut sich deswegen um 8000 km ist das relativ schnurz. Weil Planeten sowieso keine exakten Kugeln darstellen.

Rundet er als zukünftiger Metallfacharbeiter jedoch bei der Berechnung eines Bohrer- oder Fräserdurchmessers auf volle Millimeter auf oder ab, muss ich ihn darüber belehren, dass in deutscher Wertarbeit bei Metall im Tausendstel-Millimeterbereich gearbeitet wird - und er nur als zukünftiger Schreiner recht hätte, weil Holz je nach Luftfeuchtigkeit sowieso "arbeitet"

Ich hätte es fast vergessen.

Noch ein Punkt ist wichtig:
Beispiel:
a) 80 Schüler machen einen Ausflug. In einen Club-Bus können 25 Schüler mitfahren. Wie viele Busse werden benötigt.
Da runde ich auch nicht auf zwei Nachkommastellen. Sondern grundsätzlich auf (Abgesehen von ganzzahligen Lösungen).

Nachtrag:
Alias hatte wohl ziemlich gleichzeitig geschrieben.
Den Beispielen von Alias stimme ich natürlich auch zu.

Zitat von Volker_D

Mathematiker:
1000*1,03^20=....

Wenn der Mathematiker so rechnet, hat er von Finanzmathematik aber keine Ahnung.
Da sollte auf jeden Fall die Zinseszins-Formelverwendet werden

edit: Wie Avastasia richtig bemerkt, ist die obere Rechnung die Kurzversion der Zinseszins-Formel.

Zitat von alias

Wenn der Mathematiker so rechnet, hat er von Finanzmathematik aber keine Ahnung.
Da sollte auf jeden Fall die Zinseszins-Formelverwendet werden

Äh, das IST doch die Zinses-Zins-Formel!?

À+

uuups... hastu Recht.
So geht's, wenn man zu schnell drüber schaut.
edit: Ich hatte * statt ^ gelesen