Realschule Mathe - Rundungsfehler (Exaktheit - Verfälschung)

Da es ja offensichtlich ein häufiger aufkommendes mathematisches Problem ist, würde ich es mit der Fachgruppe Mathematik absprechen, damit es alle gleich handhaben und nicht jeder Kollege seine Schiene fährt bzw. fahren muss und sich darüber immer wieder den Kopf zerbricht. Alternativ könnte man auch sagen, die hohe Kunst besteht darin korrekt zu arbeiten, was für mich als Nicht-Mathematiker einem hohen Anforderungsbereich entsprechen würde, der dann den Unterschied zwischen der Note 1 und der Note 2 ausmacht. Mit Absprachen fahren wir in unserer Fachgruppe auch gut, so dass auch die Schüler in der Hinsicht gleich und gerecht bewertet werden.

Zitat von Junglehrer_92_BAY

Jetzt ist meine Frage, wie ihr das so handhabt? Weil in der Wirklichkeit/Realität kommt ja vll wirklich praktisch 42,50 cm² raus, aber durch gerundete Schülerrechnungen eventuell sogar 38,71 cm² durch die ganzen Rundungen. Die Rechnungen wurden zwar alle einigermaßen richtig gemacht und das Lernziel ist erreicht, doch leider nützt einem das ja auch nicht viel, wenn das Endergebnis ja trotzdem FALSCH ist, denn es ist sogar eine Abweichung von ca. 9% (Bei meinem Beispiel ) da.

Realitätsfremde Lehrerdenke. Solange z.B. im Mietrecht eine Abweichung der tatsächlichen Quadratmeterzahl von bis zu 10% keinen Mangel der Mietsache darstellt, sehe ich keinen Grund, warum man gerade Schüler für so etwas bestrafen sollte:
http://www.mietrecht.org/mietv…bweichung-im-mietvertrag/

Die Schule sollte hier konsequent auf das Leben vorbereiten -> Volle Puntkzahl, was sonst?

Gruß !

Ich stimme meinen Vorredner größtenteils zu.

3 kleine Anmerkungen noch:

zum Strichwort Physiker (1. Beitrag): Also insbesondere für Physiker ist 4 und 4,0 etwas anderes.

zum Stichwort Schnurr (5. Beitrag): Wird der 1 cm vielleicht für ein Knoten benötigt?!

zum Stichwort Farbe (5. Beitrag): Nun, man sollte vor allem sinnvoll runden können. Ich "hasse" es, wenn da immer gesagt wird: Bei 0 bis 4 abrunden und bei 5 bis 9 aufrunden. Das ist zwar eine leichte Regel, aber sie ist selten gut. Es gibt viele Aufgaben, da sollte man grundsätzlich immer aufrunden. Es gibt viele Aufgaben, da sollte man grundsätzlich immer abrunden. Es gibt Aufgaben, da sollte man versuchen alternierend zu runden (das kann natürlich mit vorher genannter Regel erreicht werden).
Wichtig ist, dass man erkennen kann wann man wie runden sollte.
Man sollte sich auch bewusst sein, dass evtl. Rundungsfehler vorhanden sind und je nach Aufgabe notfalls abschätzen können ob dies für die Aufgabe wichtig ist. Dummerweise wird gerade der letzte Punkt bei so einigen Aufgaben aus Mathebüchern nicht klar, weil nicht deutlich ist wer die Lösung zu welchem Zweck später benötigt.

Wenn du einen mathematischen Zusammenhang beweist, ist Exaktheit wichtig und in diesem speziellen Fall wäre auch eine Rundungslösung nicht angebracht.

In sämtlichen Anwendungsaufgaben, wie z.B. aus der ZP10, sieht das anders aus.
Um dort korrekt zu modellieren müsste eigentlich Fehlerberechnung/Fehlerbetrachtung gemacht werden. Schon die Annahme exakter Werte ist falsch.
Das ist jedoch nicht bzw. extrem eingeschränkt Stoff des Mathematikunterrichts in S1/S2. Selbst durchs Mathestudium kann man kommen, ohne jemals davon zu hören.
Von daher befindest du dich auf dünnem Eis, wenn du nur 'exakte' Lösungen einforderst.

Der nächste Fehler liegt in deiner Taschenrechnerannahme. Auch dein Taschenrechner rundet. Das fällt meistens nicht auf, weil er viele Stellen benutzt und manchmal trickreich Identitäten nutzt.
Du schiebst das Rundungsproblem nur weiter in den Nachkommabereich und verschweigst es dann. Im technischen Datenblatt der besseren Taschenrechner steht übrigens ihre Genauigkeit und ab welcher Stelle es zu Rundungen und Fehlern kommt.

Das Entscheidende ist aber letztlich das, was neleabels geschrieben hat. Die Kompetenzerwartung ist nicht die Nutzung des Taschenrechnerspeicher und auch nicht die Fehlerrechnung, sondern das strukturierte Zerlegen und lösen von Problemen.

Zitat von Junglehrer_92_BAY

... aber im Mathematischen Zweig mit Übergang Technik FOS und eventuell Ingenieurstudium sieht das da auch ganz anders aus: EXAKT oder FALSCH.

Nein! Da wird Fehlerrechnung und Toleranzmanagement gemacht. Deine Vorstellung von Exakt ist da völlig falsch.

Die Rundungsfehler sind ein echtes, reales Problem. Das geht nicht einfach nur um die Bewertung von Klassenarbeiten. Wenn die Schüler in Mathe etwas lernen sollen, dann auch, dass vorschnelles Runden zu unerwünschten und erstaunlich großen Abweichungen führen kann. Das würde ich auf jeden Fall im Unterricht mal an einem Beispiel durchrechnen. Mag sein, dass das gelegentlich in der Welt da draußen schlampig gehandhabt wird - das heißt nicht, dass man es auch schon schlampig unterrichten sollte. Und wie schon geschrieben, manchmal können schon kleine Abweichungen zu Konstruktionsfehlern führen.

Ich sage den Schülern immer, sie sollen so lange es geht mit den exakten Werten rechnen und erst ganz am Schluss den "wahren" Wert ermitteln (und den eigentlich auch nur, damit man weiß, wo er auf dem Zahlenstrahl liegt). Also pi, Wurzeln, Brüche etc. immer mitführen und nicht unterwegs runden. Besonders unschön ist, wenn man durch das Runden das Kürzen verhindert, was sich ja manchmal ergibt und dabei zu schönen, glatten Resultaten führt.

Aber was ist der Unterschied zwischen 0,50 und 1/2 ?

Nun, ich habe das Beispiel mit 4 und 4,0 gemacht. Ich bin mir nicht sicher, ob das Beispiel mit 0,50 und 1/2 genau so gemeint war, daher erkläre ich lieber an meinem Beispiel:

Wenn ich keine näheren Angaben zum Messgerät habe, dann gehe ich erstmal von folgenden Bedeutungen aus:
4 bedeutet z.B. 4 cm. Der Lehrer hat sein großes Lineal von der Tafel genommen. Er misst damit eine Strecke von 4 cm. So genau kann er die Werte aber nicht ablesen. Der wahre Wert kann daher >=3,5 und <4,5 sein.
Wenn er also ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 zeichnet, dann dann beträgt der Flächeninhalt zwischen 3,5²=12,25 und 4,5²=20,25. (Soviel mal zum wahren Wert 16

4,0 bedeutet "auch" 4,0 cm. Aber jetzt hat der Schüler sein Geodreieck genommen, damit kann er viel genauer messen, da er auch die Millimeter ablesen kann. Sein wahrer Wert kann daher >=3,95 und <4,05 sein.
Wenn er also ein Quadrat mit der Seitenlänge 4,0 zeichnet, dann dann beträgt der Flächeninhalt zwischen 3,95²=15,6025 und 4,05²=16,4025.

Daher sind 4 und 4,0 für mich unterschiedlich, da bei ihnen auch etwas über die Messgenauigkeit ausgesagt wird.
Wenn ein Schüler z.B. aufschreibt, dass er eine Strecke von 4,0000 cm gemessen hat, dann würde ich mal glatt behaupten, dass er das sehr wahrscheinlich nicht gemacht hat. 4,0000 cm ist etwas anderes als 4 cm.

Das stimmt doch nicht. Das Weglassen von Nullen in den Nachkommastellen hat nichts mit runden zu tun.

Die tatsächliche Genauigkeit hängt nicht davon ab, wieviele Nachkommstellen man angibt. Auch wenn viele das glauben.
Schönes Beispiel sind Waagen.
Die meisten gehen davon aus, sie hätten eine sehr genau Personenwaage, wenn sie 2 Nachkommastellen anzeigt. Die hat aber gebau so einen Fehler von +- 2 kg wie eine ohne Nachkommastellen.

Das ist der Fehler, den Schüler häufig machen. Sie schreiben 4, 67544€875367 vom TR ab und meinen, sie hätten ein genaus Ergebnis.
Oder sie glauben 1,414213562 sei genauer als Wurzel 2.
Du drehst diesen Fehler nun einfach um.

Mit dem letzten Satz hast du recht. 4,00000 impliziert, man hätte mit dieser Genauigkeit gemessen und das hat man sicher nicht.

Äh...4 cm an der Tafel?? Mit dem Tafellineal? Unwahrscheinlich. Da sind die 4 dm und die Genauigkeit genauso wie beim Schüler im Heft.
Klar, ich kann auch versuchen, tatsächlich 4 cm mit dem Tafellineal zu zeichnen. Aber warum sollte ich das tun???
Und klar ist 0,5 = 1/2

Zu

Zitat

Also insbesondere für Physiker ist 4 und 4,0 etwas anderes.

zitiere ich meinen Hausphysiker: "hä?"

1. Ich habe extra geschrieben "Wenn ich keine näheren Angaben zum Messgerät habe.". Ansonsten wird es nämlich noch etwas komplizierter. Das wollte ich aber erstmal nicht schreiben.

2. Warum man das tun sollte? Es ging nur um den Unterschied zwischen 4 und 4,0 zu erklären. Es ging nicht darum ein Tafelbild zu erstellen. Wenn es dir besser gefällt, dann lass den Schüler mit dem anderen Messgerät ins gleiche Heft zeichnen.

3. Das Beispiel 0,5 = 1/2 war nicht von mir.

4. 4 und 4,0 ist etwas anderes. Aber wahrscheinlich waren all meine Professoren einfach nur zu dumm und haben mich nur dummes Zeug während des Studiums rechnen lassen. Wir mussten im Physikstudium immer solche (komplizierteren!) Fehlerbetrachtung machen. Man nennt das "Signifikante Stellen". vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Signifikante_Stellen

Ah... jetzt versteh ich das Missverständnis, da du deinen Beitrag nachträglich geändert hast.
Ich spreche nicht von dem "Endergebnis", sondern der "Eingangsgröße" und die Auswirkung auf das "Endergebnis".

Zitat von Junglehrer_92_BAY

... was für absolut mega mäßige Verzerrung die Lösungen dort dann sein können

Da hat er ja recht. Aber das ist ein anderes Problem, nämlich ob die Aufgabe stabile Lösungen hat oder nicht. Leider werden aus Unkenntnis manchmal Aufgaben mit instabilen Lösungen gestellt...selbst in Schulbüchern.
Das ist interessant und man sollte es meiner Meinung auch mal im Unterricht thematisieren, ist aber eher nicht Teil der S1-Mathematik.

Geradenschnittpunkte von Geraden mit sehr ähnlicher Steigung sind ein Beispiel in der S1.
Ein Beispiel aus der S2 sind Parabelnullstellen, wenn die Parabel die x-Achse sehr flach schneidet.
Bei beiden Problemen haben kleine Störungen der Anfangsbedingungen große Auswirkungen auf das Ergebnis.

Zitat von Volker_D

Daher sind 4 und 4,0 für mich unterschiedlich, da bei ihnen auch etwas über die Messgenauigkeit ausgesagt wird.
Wenn ein Schüler z.B. aufschreibt, dass er eine Strecke von 4,0000 cm gemessen hat, dann würde ich mal glatt behaupten, dass er das sehr wahrscheinlich nicht gemacht hat. 4,0000 cm ist etwas anderes als 4 cm.

Aha. "Für mich". Ist das neuerdings Geschmacksache, ob 50/100 dasselbe ist wie 1/2 oder 4+0 dasselbe wie 4 ?

"Für mich" ist 4, 0 = 4, weil 4,0 = 4+0/10=4. Ist das nun meine unmaßgebliche Meinung oder ist das vielleicht doch einfach Mathematik, weil so definiert?!

Nö, ist keine Geschmacksfrage, sondern Definitionsfrage. Und ich bin da einer Meinung mit der DIN 1333. Du verstößt mit deinem Beispiel dagegen, weil du damit eine größere Genauigkeit vortäuscht als wirklich vorhanden ist.

hmm... Piksieben. Ich sehe gerade, dass du Informatik als Fach hast. Ok, dann kennst du evtl. das Problem nicht von den Messgeräten, aber du müsstest es eigentlich doch vom Thema "Gleitkommazahlen" kennen. Dort ist das Problem der Signifikanten Stellen doch ebenfalls nicht unbekannt (und nicht mit der Mantisse zu verwechseln). Ist aber, wenn ich mich richtig erinnere, bei euch in der DIN 1319 festgelegt.